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ज्यामितीय अनुक्रम
शब्द "geometric progression" गणित के क्षेत्र से और विशेष रूप से अनुक्रमों और श्रृंखलाओं के अध्ययन से निकला है। ज्यामितीय प्रगति संख्याओं का एक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक पद पिछले पद को एक निश्चित गैर-शून्य संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जाता है जिसे सामान्य अनुपात कहा जाता है। शब्द "geometric" की उत्पत्ति का पता ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड से लगाया जा सकता है, जिन्होंने कुछ पैमानों का वर्णन करने के लिए "geometrical" शब्द का इस्तेमाल किया था, जैसे कि दोहरीकरण पैमाना, जो एक पैटर्न का पालन करता है जिसमें प्रत्येक पद पिछले पद से एक निश्चित अनुपात से बड़ा होता है। इस अवधारणा के लिए लैटिन शब्द "प्रोग्रेसियो जियोमेट्रिका" है, जिसे 17वीं शताब्दी में फ्रांसीसी गणितज्ञों ने अपनाया था। अंग्रेजी में, शब्द "geometric progression" 19वीं शताब्दी में प्रयोग में आया जब गणित का विषय तेजी से औपचारिक हो गया। ज्यामितीय प्रगति का विचार विभिन्न गणितीय संदर्भों में महत्वपूर्ण है, विशेष रूप से चक्रवृद्धि ब्याज और घातीय वृद्धि की जांच में। उदाहरण के लिए, अर्थशास्त्र में इसका उपयोग आम तौर पर वार्षिक ब्याज दरों को मॉडल करने के लिए किया जाता है, जबकि भौतिकी में इसका उपयोग गैसों के विस्तार या रेडियोधर्मी समस्थानिकों के क्षय का वर्णन करने के लिए किया जाता है। संक्षेप में, शब्द "geometric progression" का पता यूक्लिड के निश्चित अनुपात वाले पैमानों के वर्णन से लगाया जा सकता है, और इसका अर्थ और उपयोग समय के साथ गणितीय और व्यावहारिक अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला को शामिल करने के लिए विकसित हुआ है।
एक बैरल के किनारों की लंबाई एक ज्यामितीय प्रगति बना सकती है, जिसमें प्रत्येक उत्तरवर्ती पक्ष पिछले पक्ष की लंबाई से तीन गुना होता है।
सौरमंडल में कुछ ग्रहों की कक्षाओं के बीच की दूरी एक ज्यामितीय क्रम का अनुसरण करती है, जिसके कारण सूर्य से दूरी बढ़ने के साथ-साथ वे एक-दूसरे से बहुत दूर होते जाते हैं।
ध्वनि स्रोत द्वारा उत्पन्न तरंगों के पैटर्न को ज्यामितीय प्रगति का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है, जिसमें प्रत्येक क्रमिक तरंग का आयाम घटता जाता है।
ब्लैकजैक के खेल में, प्रत्येक हाथ में डीलर को दिए जाने वाले कार्डों की संख्या एक ज्यामितीय क्रम का अनुसरण करती है, जो एक कार्ड से शुरू होकर दो गुना बढ़ती जाती है।
क्रमिक ज्यामितीय आकृतियों, जैसे वर्ग, घन और अष्टफलक, में भुजाओं की संख्या एक ज्यामितीय प्रगति का अनुसरण करती है, जिसमें प्रत्येक आकृति में पिछली आकृति की तुलना में एक भुजा अधिक होती है।
कुछ विशेष प्रकार के दूरबीनों में प्रयुक्त गोलाकार परावर्तक की त्रिज्या एक ज्यामितीय क्रम का अनुसरण करती है, जो सरणी में प्रत्येक उत्तरवर्ती परावर्तक के लिए एक निश्चित गुणक से बढ़ती है।
पियानो या गिटार जैसे संगीत वाद्ययंत्रों पर बजाए जाने वाले स्वरों का क्रम ज्यामितीय प्रगति का अनुसरण कर सकता है, जिसमें प्रत्येक क्रमिक स्वर स्केल पर आगे की ओर बजाया जाता है।
फोन नंबरों के अनुक्रम में अंकों की संख्या एक ज्यामितीय प्रगति का अनुसरण कर सकती है, जिसमें प्रत्येक अगले नंबर में पिछले नंबर की तुलना में एक अंक अधिक होता है।
टपकते नल में, लगातार बूंदों के बीच का समय एक ज्यामितीय प्रगति का अनुसरण कर सकता है, जिसमें प्रत्येक क्रमिक समय अंतराल पिछले समय का एक निश्चित गुणक होता है।
कांच की प्लेटों की एक श्रृंखला के माध्यम से प्रेषित प्रकाश की तीव्रता एक ज्यामितीय प्रगति का अनुसरण कर सकती है, जिसमें प्रत्येक क्रमिक प्लेट प्रकाश की तीव्रता को एक निश्चित अंश से कम कर देती है।
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