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प्रधान संख्या
शब्द "prime number" ग्रीक शब्द "प्रोटोस" से आया है, जिसका अर्थ है पहला या पूर्ववर्ती। गणित में, अभाज्य संख्या 1 से बड़ी एक धनात्मक पूर्णांक होती है जो केवल 1 और स्वयं से विभाज्य होती है। अभाज्य संख्याओं की अवधारणा की जड़ें प्राचीन काल में हैं, जब यूक्लिड और यूलर जैसे यूनानी गणितज्ञ उनके गुणों का अध्ययन करते थे। यूलर ने विशेष रूप से अभाज्य संख्या सिद्धांत में महत्वपूर्ण योगदान दिया, 18वीं शताब्दी में "prime number" शब्द गढ़ा। अभाज्य संख्याओं के लिए उनका गुणन सूत्र, जिसे यूलर के टोटिएंट फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है, किसी दी गई संख्या से कम पूर्णांकों की संख्या गिनने का एक तरीका प्रदान करता है जो इसके सहअभाज्य हैं। सदियों से, गणितज्ञों ने अभाज्य संख्याओं की जांच जारी रखी है, उनके वितरण और गुणों से संबंधित विभिन्न प्रमेयों और अनुमानों को सिद्ध किया है। आज, अभाज्य संख्याएँ गणितज्ञों को आकर्षित और चुनौती देती रहती हैं, और संख्या सिद्धांत में सक्रिय शोध का विषय बनी हुई हैं।
संख्या 2 एक अभाज्य संख्या है क्योंकि यह केवल 1 और स्वयं से ही विभाज्य है।
गणितज्ञ अभाज्य संख्याओं के प्रति आकर्षित होते हैं, क्योंकि कोई भी दो भिन्न अभाज्य संख्याएं आपस में गुणा करके एक छोटी अभाज्य संख्या नहीं बनातीं।
किसी बड़ी भाज्य संख्या के गुणनखंडन में, उसमें आने वाली सभी अभाज्य संख्याओं को ज्ञात करना एक चुनौतीपूर्ण समस्या है, जिसे अभाज्य गुणनखंडन के रूप में जाना जाता है।
आज तक ज्ञात सबसे बड़ी अभाज्य संख्या में 24 मिलियन से अधिक अंक हैं, जो यह साबित करता है कि अभाज्य संख्याएं बार-बार और अपेक्षा से परे आती हैं।
गोल्डबैक परिकल्पना, जो कहती है कि दो से बड़ी प्रत्येक सम पूर्णांक संख्या को दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, गणित में अभी भी एक अनसुलझी समस्या है।
कुछ क्रिप्टोग्राफिक प्रणालियों में, सुरक्षा बड़ी मिश्रित संख्याओं को उनके अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने की कठिनाई पर आधारित होती है, जिससे अभाज्य संख्याएं आधुनिक डिजिटल संचार का अभिन्न अंग बन जाती हैं।
लीजेंड्रे का सूत्र किसी दी गई संख्या से कम अभाज्य संख्याओं की संख्या की गणना के लिए एक अनुमानित विधि प्रदान करता है, जो अभाज्य संख्याओं के वितरण को समझने के लिए एक उपयोगी उपकरण हो सकता है।
संख्या सिद्धांत के एक मूलभूत घटक के रूप में, अभाज्य संख्याओं के क्रिप्टोग्राफी से लेकर भौतिकी तक विभिन्न क्षेत्रों में कई महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं।
एक परिमित क्षेत्र में, जिसमें केवल परिमित संख्या में तत्व होते हैं, किसी भी शून्येतर तत्व का गुणात्मक व्युत्क्रम केवल तभी मौजूद होता है जब वह अभाज्य हो।
अभाज्य संख्याएं, यद्यपि यादृच्छिक और अप्रत्याशित प्रतीत होती हैं, लेकिन वे अद्वितीय पैटर्न प्रदर्शित करती हैं जो दुनिया भर के गणितज्ञों को हैरान और प्रेरित करती रहती हैं।
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