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जटिल संख्या
"complex number" शब्द की उत्पत्ति 1700 के दशक के अंत में हुई थी, जब फ्रांसीसी गणितज्ञ रेने डेसकार्टेस ने दो-आयामी अंतरिक्ष में बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने के तरीके के रूप में ध्रुवीय निर्देशांक पेश किए थे। ध्रुवीय निर्देशांक में, एक बिंदु को एक निश्चित बिंदु (जिसे ध्रुव कहा जाता है) से दूरी (जिसे त्रिज्या कहा जाता है) और एक कोण (जिसे तर्क कहा जाता है) द्वारा दर्शाया जाता है। इस अवधारणा को बाद में स्विस गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर ने विस्तारित किया, जिन्होंने 1700 के दशक के मध्य में ऋणात्मक संख्याओं का वर्गमूल निकालने के लिए काल्पनिक संख्याएँ पेश कीं। यूलर ने काल्पनिक संख्याओं को काल्पनिक इकाई "i" और एक वास्तविक संख्या, जैसे -1 = i^2 के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया। तो, जटिल संख्याएँ गणितीय इकाइयाँ हैं जिनमें एक वास्तविक और एक काल्पनिक दोनों भाग होते हैं। उन्हें a + bi के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ "a" वास्तविक भाग है और "b" काल्पनिक भाग है। "complex number" नाम इसलिए गढ़ा गया क्योंकि इसकी परिभाषा में कई भाग या घटक शामिल हैं, जबकि साधारण संख्याओं में केवल एक भाग होता है (या तो पूर्ण संख्या या दशमलव)। "complex" शब्द को इस अतिरिक्त जटिलता को दर्शाने के लिए चुना गया था और इसका पहली बार इस संदर्भ में डेनिश गणितज्ञ कैस्पर वेसल ने 1816 में इस्तेमाल किया था।
जॉन के कैलकुलस प्रोफेसर ने उन्हें एक समस्या दी थी जिसमें उन्हें दो जटिल संख्याओं, 3 + 4i और -2 + i का गुणनफल ज्ञात करना था, जो कि काल्पनिक संख्याओं के साथ काम करने की जटिलता के कारण उनके लिए एक चुनौतीपूर्ण कार्य था।
सम्मिश्र संख्या की गणितीय अवधारणा, जिसे a + bi के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं और i काल्पनिक इकाई है, को सम्मिश्र तल में एक बिंदु के रूप में दृष्टिगत रूप से दर्शाया जा सकता है।
सोफी को जटिल संख्याओं के गुणन को समझने में कठिनाई हो रही थी, जब तक कि उसके गणित शिक्षक ने उसे समझाया कि इसमें वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करना, उन्हें अलग-अलग गुणा करना, और फिर गुणनफलों को संयोजित करना शामिल है।
व्यंजक (3 + 4i)² को सरल बनाने के लिए, एक प्रक्रिया का पालन करना होगा जिसे सम्मिश्र संख्या का वर्ग करना कहते हैं, जिसमें संख्या को स्वयं से गुणा करना और i के गुणों का उपयोग करना शामिल है।
मोबियस स्ट्रिप के नाम से जानी जाने वाली त्रि-आयामी वस्तु को दो चरों वाली एक जटिल संख्या के रूप में देखा जा सकता है, क्योंकि 3D ग्राफ पर अंकित करने पर यह z-अक्ष के चारों ओर घूमती है।
एम्मा के भौतिकी प्रोफेसर ने जटिल संख्याओं की अवधारणा का उपयोग यह समझाने के लिए किया कि विद्युत चुम्बकीय तरंगों को वास्तविक और काल्पनिक फलन के गुणनफल के रूप में कैसे माना जा सकता है, तथा वे पदार्थ के साथ किस प्रकार अंतःक्रिया करती हैं।
रैखिक समीकरणों की प्रणाली के साथ काम करते समय, कभी-कभी उन्हें जटिल संख्याओं में परिवर्तित करना सहायक होता है, क्योंकि इससे जटिल अंकगणित का उपयोग करके अधिक आसानी से समाधान ढूंढा जा सकता है।
किसी सम्मिश्र संख्या का मापांक या निरपेक्ष मान, उसके परिमाण का माप होता है, तथा इसे सम्मिश्र तल में मूल बिंदु से सम्मिश्र संख्या को दर्शाने वाले बिंदु तक खींची गई एक ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा दर्शाया जाता है।
वैज्ञानिक संकेतों के विश्लेषण में जटिल संख्याओं का उपयोग करते हैं, क्योंकि वे किसी संकेत को अलग-अलग वास्तविक और काल्पनिक घटकों में विघटित करने की अनुमति देते हैं, जिन्हें बेहतर ढंग से समझा और नियंत्रित किया जा सकता है।
किसी ऋणात्मक वास्तविक संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने की प्रक्रिया, जिसमें जटिल संख्याओं का उपयोग शामिल है, को जटिल संख्या iroot या इंड्रिसन प्रमेय के रूप में जाना जाता है। यह गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग के विभिन्न क्षेत्रों में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है।
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