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संगत कोण
ज्यामिति में "corresponding angles" शब्द दो कोणों को संदर्भित करता है जिनका समानांतर रेखाओं के संबंध में एक विशिष्ट संबंध होता है। यह अवधारणा प्राचीन ग्रीक गणित में उत्पन्न हुई, जहाँ इसे पहली बार यूक्लिड ने अपनी प्रसिद्ध पाठ्यपुस्तक "एलिमेंट्स" में खोजा और वर्णित किया था। यूक्लिड के काम में, समानांतर रेखाओं को उन रेखाओं के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक ही तल में स्थित होती हैं और कभी भी प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, चाहे वे कितनी भी दूर तक फैली हों। संगत कोणों को दो कोणों के रूप में परिभाषित किया जाता है जो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं (जिन्हें ट्रांसवर्सल कहा जाता है) द्वारा बनते हैं जो समानांतर रेखाओं को अलग-अलग बिंदुओं पर काटते हैं। इस मामले में, रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु पर बने कोणों को संगत कोण माना जाता है। ये कोण माप में बराबर होते हैं, भले ही वे दिशा में विपरीत प्रतीत हों। ज्यामिति में संगत कोणों के मौलिक महत्व का पता समानांतर रेखाओं और ट्रांसवर्सल से संबंधित विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने में उनकी भूमिका से लगाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, उनका उपयोग त्रिभुज समरूपता स्थितियों में लुप्त भुजाओं की लंबाई खोजने या यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि रेखाएँ समानांतर हैं या नहीं। इसके अलावा, ये कोण त्रिकोणमिति में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, जहाँ वे समकोण त्रिभुजों में भुजाओं और कोणों के बीच अनुपात स्थापित करने में मदद करते हैं। आधुनिक गणित में, इस अवधारणा में अन्य ज्यामितीय आकृतियाँ जैसे लंबवत रेखाएँ शामिल हो गई हैं, जहाँ लंबवत रेखाओं को प्रतिच्छेद करके संगत कोण बनते हैं। फिर भी, मौलिक अवधारणा अपरिवर्तित बनी हुई है, और संगत कोण ज्यामिति के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण स्थान रखते हैं।
इस समकोण त्रिभुज में, संगत कोण वे होते हैं जो एक दूसरे के विपरीत होते हैं जब उन्हें समांतर रेखाओं पर खींचा जाता है जो एक तिर्यक रेखा द्वारा प्रतिच्छेदित होती हैं। उदाहरण के लिए, कोण B और कोण D संगत कोण हैं।
जब एक तिर्यक रेखा द्वारा काटी गई समांतर रेखाएँ खींची जाती हैं, तो संगत कोणों के माप बराबर होते हैं। हमारे चित्र में, हम देख सकते हैं कि कोण B और कोण D दोनों 65 डिग्री हैं।
संगत कोण चक्रीय चतुर्भुजों में भी पाए जा सकते हैं, जो चतुर्भुज होते हैं जहाँ सभी भुजाएँ एक दूसरे को काट कर एक वृत्त बनाती हैं। इस मामले में, संगत कोणों को पूरक कोणों के रूप में मापा जाता है, जिसका अर्थ है कि उनका योग 180 डिग्री होता है।
चक्रीय चतुर्भुज में संगत कोणों के माप ज्ञात करने के लिए, हम पूरक कोणों को जोड़ या घटा सकते हैं। हमारे चक्रीय चतुर्भुज में, कोण U और कोण M संगत कोण हैं, और उनके माप पूरक कोणों को जोड़कर या घटाकर ज्ञात किए जा सकते हैं।
ओवरलैपिंग सर्कल्स से निपटते समय, हम प्रतिच्छेद बिंदुओं के बीच स्पर्शरेखा बनाकर संगत कोण पा सकते हैं। इन स्पर्शरेखाओं द्वारा बनाए गए कोणों को स्पर्शरेखा कोण कहा जाता है, और उन्हें संगत कोण भी कहा जाता है।
ऐसे मामलों में जहाँ समांतर रेखाएँ और लंबवत रेखाएँ एक दूसरे को काटती हैं, हम बनने वाले कोणों को प्रतिच्छेद कोण कहते हैं। ऐसे परिदृश्य में संगत कोणों को या तो ऊर्ध्वाधर कोण या प्रतिच्छेद कोण के रूप में मापा जाता है, जो समरूप होते हैं।
संगत कोण त्रिकोणमिति में एक मौलिक अवधारणा है, जहाँ वे समकोण त्रिभुजों में भुजाओं और कोणों के बीच संबंध स्थापित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। हमारे चित्र में, हम संगत कोणों के मापों का उपयोग करके त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात कर सकते हैं।
ज्यामिति में, संगत कोणों की अवधारणा समरूपता, सर्वांगसमता और समानता जैसे विभिन्न अन्य क्षेत्रों तक फैली हुई है। सममित आकृतियों में जहाँ परावर्तन होता है, संगत कोण सर्वांगसम होते हैं।
समान आकृतियों के साथ काम करते समय, संगत कोणों के माप भी समान होते हैं, लेकिन जरूरी नहीं कि वे सर्वांगसम हों। दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि संगत कोणों के माप समान होते हैं, लेकिन ये आकृतियाँ आकार में भिन्न हो सकती हैं।
जटिल त्रि-आयामी आकृतियों में, संगत कोणों की अवधारणा अभी भी सत्य है, हालांकि कोणों के एक से अधिक फलक हो सकते हैं।
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