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तर्कसंगत संख्या
शब्द "rational number" लैटिन शब्द "रेशनलिस" से उत्पन्न हुआ है, जिसका अनुवाद "reasonable" या "तार्किक" होता है। गणितीय संदर्भों में, एक परिमेय संख्या कोई भी संख्या होती है जिसे पूर्णांक अंश और हर के साथ भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। परिमेय संख्याओं की अवधारणा की ऐतिहासिक जड़ें प्राचीन गणित में हैं। पाइथागोरस जैसे प्राचीन यूनानियों ने अपरिमेयता की धारणा या उन संख्याओं का पता लगाना शुरू किया जिन्हें भिन्नों के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता। उनकी खोजों ने परिमेय संख्याओं के लिए औपचारिक परिभाषाओं के विकास को जन्म दिया, जैसे कि तीसरी शताब्दी ईस्वी में गणितज्ञ डायोफैंटस द्वारा। आधुनिक गणित में, परिमेय संख्याओं का अध्ययन बीजगणित और संख्या सिद्धांत के लिए केंद्रीय है। वे वास्तविक संख्याओं के उपसमूह के रूप में अपने गुणों और रिंग और फ़ील्ड जैसी बीजीय संरचनाओं से अपने घनिष्ठ संबंधों के लिए महत्वपूर्ण हैं। कुल मिलाकर, इस संदर्भ में शब्द "rational" उन संख्याओं को संदर्भित करता है जिन्हें इस तरह से दर्शाया जा सकता है कि उन्हें समझना और हेरफेर करना आसान हो, जिससे वे गणितीय तर्क का एक मूलभूत निर्माण खंड बन जाते हैं।
परिमेय संख्या 0.3, दशमलव को जारी रखने पर अनिश्चित काल तक दोहराती रहती है, जिससे यह एक आवर्ती दशमलव बन जाती है।
परिमेय संख्या 5/12 दशमलव 0.4167 के समतुल्य है, क्योंकि 5, 12 में ठीक 12 बार जाता है तथा शेषफल 5 बचता है।
परिमेय संख्या 23 एक पूर्ण संख्या है क्योंकि इसमें दशमलव भाग नहीं है, लेकिन फिर भी इसे एक परिमेय संख्या माना जाता है।
परिमेय संख्याएँ वे हैं जिन्हें अंकों के दोहराव वाले अनुक्रम के साथ भिन्न या दशमलव के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
परिमेय संख्या 7.5 को 75/ के रूप में लिखा जा सकता है, क्योंकि 75, 10 में ठीक 100 बार जाता है तथा शेषफल 75 बचता है।
जब हम परिमेय संख्या 8.3 और -1.7 को जोड़ते हैं, तो हमें एक नयी परिमेय संख्या 6.6 प्राप्त होती है।
परिमेय संख्या 0.5 को परिमेय संख्या 3 से गुणा करने पर परिमेय संख्या 1.5 प्राप्त होती है।
1/2 और 5/6 जैसी परिमेय संख्याओं के भी संगत दशमलव प्रसार होते हैं, लेकिन दोहराए जाने वाले दशमलवों के विपरीत, वे सीमित संख्या में अंकों पर समाप्त होते हैं।
किसी गैर-पुनरावर्ती परिमेय संख्या के दशमलव रूप को पूर्णतः व्यक्त करने के लिए अंकों की एक अनंत लंबी श्रृंखला की आवश्यकता हो सकती है, लेकिन गणना को सरल बनाने के लिए एक व्यावहारिक सीमा निर्धारित की जा सकती है।
सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का उचित उपसमुच्चय होता है, क्योंकि कुछ संख्याएं, जैसे कि पाई या का वर्गमूल, को दोहराव पैटर्न वाले साधारण भिन्न या दशमलव के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
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