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उपसमूह
"subgroup" शब्द स्वाभाविक रूप से समूहों की गणितीय अवधारणा से उत्पन्न हुआ। यह उपसर्ग "sub-", जिसका अर्थ "under" या "part of," है, को संज्ञा "group." के साथ जोड़ता है। यह मूल परिभाषा को दर्शाता है: एक उपसमूह एक बड़े समूह का उपसमूह है जो स्वयं एक ही ऑपरेशन के तहत एक समूह बनाता है। उपसमूहों की अवधारणा 19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में समूहों के सिद्धांत के साथ-साथ विकसित की गई थी, मुख्य रूप से आर्थर केली और वाल्थर डाइक जैसे गणितज्ञों द्वारा। "subgroup" शब्द 20वीं शताब्दी की शुरुआत में ही ठोस हो गया।
संज्ञा
(जीव विज्ञान) समूहीकरण
डिफ़ॉल्ट
उपसमूह
accessible s. (बीजगणित) उपसमूह प्राप्त हुआ
amalgamated s. शरारती बच्चों का समूह
सम संख्याओं का समूह पूर्णांकों के योगात्मक समूह का उपसमूह है, क्योंकि यह योग के अंतर्गत बंद होता है और इसमें पहचान तत्व (0) होता है।
सममित क्रमचयों के समूह में, सम क्रमचयों का समूह एक उपसमूह बनाता है, क्योंकि यह संयोजन के अंतर्गत बंद होता है और इसमें सर्वसमिका होती है।
एक परिमित क्षेत्र में इकाइयों के समूह में तत्व 3 द्वारा उत्पन्न चक्रीय उपसमूह क्रम (p-1)/2 के चक्रीय समूह के समरूप होता है, जहाँ p क्षेत्र की विशेषता है।
क्रिप्टोग्राफी में उपसमूहों का एक सामान्य अनुप्रयोग दीर्घवृत्तीय वक्र क्रिप्टोग्राफी में उपसमूहों का उपयोग है, जहां दीर्घवृत्तीय वक्र पर बिंदुओं के उपसमूह का उपयोग एक परिमित क्षेत्र के निर्माण के लिए किया जाता है।
एक के बराबर विकर्ण प्रविष्टियों वाले ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिसेस का सेट व्युत्क्रमणीय मैट्रिसेस के सामान्य रैखिक समूह का एक उपसमूह बनाता है, क्योंकि यह मैट्रिक्स गुणन के तहत बंद होता है और इसमें पहचान मैट्रिक्स होता है।
शून्येतर वास्तविक संख्याओं के गुणक समूह में, धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समूह एक उपसमूह होता है, क्योंकि यह गुणन के अंतर्गत बंद होता है और इसमें पहचान तत्व (1) होता है।
किसी समूह का वह उपसमूह जो पूरे समूह के बराबर न हो, उसे उचित उपसमूह कहते हैं। उदाहरण के लिए, सममित समूह में सम क्रमचयों का समूह एक उचित उपसमूह होता है।
एक के बराबर निर्धारक वाले लाइ समूह के सभी आव्यूहों का समुच्चय एक उपसमूह बनाता है।
किसी समूह का केंद्र, जिसे उन तत्वों के समूह के रूप में परिभाषित किया जाता है जो समूह के प्रत्येक तत्व के साथ संचार करते हैं, एक उपसमूह है।
एक परिमित समूह के संयुग्मी वर्ग समूह का एक विभाजन बनाते हैं, तथा किसी दिए गए संयुग्मी वर्ग से संबंधित तत्वों के समूह समूह के उपसमूह बनाते हैं, जिन्हें सामान्य उपसमूह के रूप में जाना जाता है।
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