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अंतर समीकरण
"differential equation" शब्द की उत्पत्ति 17वीं शताब्दी में हुई थी, जब गणितज्ञों ने समय के साथ लगातार बदलते चरों के व्यवहार का पता लगाना शुरू किया था। "d" या "df/dx" द्वारा निरूपित व्युत्पन्न, परिवर्तन की इसी अवधारणा का सटीक प्रतिनिधित्व करता है। एक अंतर समीकरण एक समीकरण है जो चर और उनके व्युत्पन्नों को जोड़ता है। दूसरे शब्दों में, एक अंतर समीकरण एक गणितीय अभिव्यक्ति है जो वर्णन करती है कि किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न फ़ंक्शन और इसमें शामिल किसी भी चर पर कैसे निर्भर करते हैं। इसका उपयोग भौतिकी, इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र और कई अन्य क्षेत्रों में विभिन्न वास्तविक दुनिया की घटनाओं, जैसे जनसंख्या वृद्धि, कणों की गति या विद्युत संकेतों के संचरण को मॉडल और विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। शब्द "differential" "अंतर" से आया है, जो दो मानों के बीच अंतर को संदर्भित करता है, जबकि "equations" चर से संबंधित गणितीय कथन हैं। इसलिए, एक अंतर समीकरण अंतर और व्युत्पन्नों से संबंधित एक समीकरण है, जो बदलते चरों के बीच संबंधों को प्रकट करने में मदद कर सकता है। कुल मिलाकर, शब्द "differential equation" समकालीन गणित और विज्ञान में आवश्यक है, जो समय के साथ परिवर्तन का अध्ययन करने और समझने के महत्व को दर्शाता है।
अवकल समीकरण x'' + x = 0 का हल x(t= A sin(t) + B cos(t) के रूप में है, जहाँ A और B स्थिरांक हैं।
एक गैर-रैखिक स्प्रिंग पर द्रव्यमान की गति को अंतर समीकरण m x'' + k x^3 = 0 द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जहाँ m द्रव्यमान है, x विस्थापन है, और k स्प्रिंग स्थिरांक है।
जनसंख्या के व्यवहार को लॉजिस्टिक अंतर समीकरण dx/dt = k x (1-x/C) द्वारा मॉडल किया जा सकता है, जहां k वृद्धि दर है और C वहन क्षमता है।
विद्युतगतिकी में, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण की गति अंतर समीकरण m d^2 x/dt^2 = q (E + v x B) द्वारा नियंत्रित होती है, जहाँ m द्रव्यमान है, q आवेश है, E विद्युत क्षेत्र है, v वेग है, x स्थिति है, और B चुंबकीय क्षेत्र है।
उत्प्रेरक प्रणाली में एक अभिकारक के प्रसार को विभेदक समीकरण d[C]_1/dt = D_1 grad^2 [C]_1 - k_1 [C]_1 [C]_2 द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जहाँ D_1 प्रसार गुणांक है, k_1 प्रतिक्रिया दर स्थिरांक है, और [C]_1 और [C]_2 अभिकारकों की सांद्रता हैं।
नियंत्रण सिद्धांत में, विभेदक समीकरण dx/dt = Ax + Bu का उपयोग रैखिक प्रणाली की गतिशीलता को दर्शाने के लिए किया जाता है, जहाँ A और B आव्यूह हैं।
किसी माध्यम में प्रकाश के व्यवहार को विभेदक समीकरण कर्ल E = -∂B/∂t द्वारा नियंत्रित किया जा सकता है, जहाँ E विद्युत क्षेत्र है और B चुंबकीय क्षेत्र है।
तरल यांत्रिकी में, नेवियर-स्टोक्स समीकरण, जो आंशिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली है, तरल पदार्थों की गति का वर्णन करता है।
शिकारी-शिकार जनसंख्या अंतःक्रिया का मॉडल अंतर समीकरणों dx/dt = x (a - by और dy/dt = y (-c + dx/y) द्वारा दिया गया है, जहां x और y क्रमशः शिकार और शिकारी की आबादी हैं, और a, b, और c स्थिरांक हैं।
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