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ज्यामितीय माध्य
"geometric mean" शब्द की जड़ें गणित में हैं और यह चक्रवृद्धि ब्याज की अवधारणा से उपजा है। जब किसी प्रारंभिक मूलधन को किसी निश्चित चक्रवृद्धि ब्याज दर पर निवेश किया जाता है, तो एक निश्चित अवधि के अंत में निवेश के मूल्य की गणना अंकगणित या ज्यामितीय प्रगति का उपयोग करके की जा सकती है। अंकगणितीय प्रगति में, क्रमिक भुगतानों के बीच का अंतर एक निश्चित राशि होती है, जबकि ज्यामितीय प्रगति में, प्रत्येक बाद का भुगतान पिछले भुगतान का एक निश्चित गुणक होता है। दो संख्याओं का ज्यामितीय माध्य उस संख्या को दर्शाता है, जिसे जब एक निश्चित संख्या में (घातांक द्वारा निर्धारित) स्वयं से गुणा किया जाता है, तो वह दो प्रारंभिक संख्याओं के गुणनफल के बराबर होती है। सीधे शब्दों में कहें तो यह वह संख्या है जो एक निश्चित समयावधि में एक निश्चित प्रतिशत से "grows" होती है। इसका एक उदाहरण बचत खाते पर अर्जित ब्याज है जो चक्रवृद्धि ब्याज देता है। ज्यामितीय माध्य अंकगणितीय माध्य पर कुछ लाभ प्रदान करता है। यह वृद्धि दर या प्रतिशत परिवर्तनों से निपटने के दौरान विशेष रूप से उपयोगी है, क्योंकि यह एक श्रृंखला में दो बिंदुओं के बीच औसत वृद्धि दर की गणना करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, वित्तीय विश्लेषण में, ज्यामितीय माध्य की गणना अधिक सार्थक परिणाम प्रदान करती है क्योंकि यह समय के साथ ब्याज या रिटर्न के चक्रवृद्धि प्रभाव को ध्यान में रखती है। इस प्रकार, शब्द "geometric mean" गणितीय और वित्तीय शब्दावली का एक अनिवार्य हिस्सा बन गया है।
12 और 24 का गुणोत्तर माध्य 18 है, जिसे दोनों संख्याओं के गुणनफल का nवाँ मूल लेकर ज्ञात किया जा सकता है।
संगीत सिद्धांत में, संगीत पैमाने पर दो आसन्न स्वरों की आवृत्तियों के ज्यामितीय माध्य का उपयोग अक्सर उन स्वरों के बीच के अंतराल के लिए अधिक सुखद स्वर के रूप में किया जाता है।
मानचित्रकला में, दो अन्य बिंदुओं के बीच स्थित एक बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए अक्षांश और देशांतर के ज्यामितीय माध्य की गणना की जाती है।
दो निवेश प्रतिफलों का ज्यामितीय माध्य, किसी निवेश पर उस अवधि के दौरान औसत प्रतिफल का अनुमान लगाने के लिए उपयोगी होता है, जब प्रतिफल में काफी भिन्नता होती है।
गणितज्ञ प्रायः ज्यामितीय माध्य का उपयोग डेटा बिंदुओं के एक समूह के माध्यम से वक्र के लिए सर्वोत्तम फिट खोजने के लिए करते हैं, जहां x- और y- दोनों मान काफी भिन्न होते हैं।
इंजीनियर विभिन्न तीव्रता स्तरों वाले अनेक इनपुटों के अधीन किसी प्रणाली के प्रचालन बिंदु की गणना करने के लिए ज्यामितीय माध्य का उपयोग करते हैं।
संभाव्यता सिद्धांत में, यादृच्छिक चरों के अनुक्रम के ज्यामितीय माध्य का उपयोग श्रृंखला के अभिसरण गुणों और अनुक्रम के प्रसरण का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है।
ज्यामितीय माध्य का प्रयोग भौतिकी में होता है, जहां इसका उपयोग चक्रीय पथ पर गतिशील कण के औसत वेग की गणना करने के लिए किया जाता है।
रसायनज्ञ कार्बनिक अणुओं में औसत बंध कोण की गणना करने के लिए ज्यामितीय माध्य का उपयोग करते हैं।
ज्यामितीय माध्य का उपयोग विभिन्न गणितीय विषयों, जैसे संख्या सिद्धांत, बीजगणित और टोपोलॉजी में भी किया जाता है, जिससे महत्वपूर्ण गणितीय संबंधों और गुणों को स्थापित करने में मदद मिलती है।
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